Родился 1 марта 1929 года в Москве в семье инженера. Интерес к природе и биологии возник у него ещё в раннем детстве.
В 1937 году начал обучение в школе. Посещал кружок юных биологов при Московском зоопарке под руководством П. П. Смолина.
В 1947 году с отличием окончил школу и поступил на биолого-почвенный факультет Московского государственного университета. В 1952 году окончил вуз и был распределён на работу в Институт океанологии АН СССР. Здесь он защитил диссертацию, посвящённую осьминогам Тихого океана, получив учёную степень кандидата биологических наук.
В 1961 году были изданы его первые книги: «Следы невиданных зверей» и «Тропою легенд: Рассказы о единорогах и васorсках», рассказывающие о том, как легенды и слухи о почти сказочных и невероятных животных оборачивались реальными openиями новых биологических видов. Среди читателей книги пользовались большой популярность, благодаря простому стилю изложению, манере повествования. В своих книгах Акимушкин широко пользовался зарубежными источниками, в результате многие факты русскоговорящие читатели впервые узнавали из его книг.
Начиная с 1960-х годов Акимушкин регулярно издаёт свои книги. В свет выходят такие книги как «Занимательная биология», «Куда и Как?» (повествующая об ориентации животных в пространстве), «Трагедия диких животных» (о вопросах истребления и вымирающих видах), «Первопоселенцы суши» (рассказывает о пауках), «Невидимые нити природы» (рассказывает об экологии), «Причуды природы»… Параллельно с работой над научно-популярными книгами, Акимушкин пишет сценарии для научно-документальных фильмов, а также книжки для детей («Жил-был бобр», «Кто без крыльев летает?»).
В 1963 году вступил в КПСС, а в 1971 году стал лауреатом премии Allсоюзного общества «Знание». В 1979 году его приняли в Союз писателей СССР.
Игорь Акимушкин является автором 96 научно-художественных, научно-популярных и детских произведений о животных.
Наиболее известной публикацией автора является шеститомная серия «Мир Животных». Первое издание серии выходило с 1971 по 1975 год. Books серии отличались обorем фотографий и необычным на то время дизайном. Страницы были обрамлены широкими белыми полями, украшенными рисунками А. Блоха и Б. Жутовского. Основной текст был отпечатан крупным шрифтом, а цитаты и дополнительные сведения — шрифтом меньшего регистра. В 1981 году в составе серии вышел ещё один, ставший шестым по счёту, том, в котором Акимушкин объединил сведения о различных домашних животных.
В 1988 году вышло переиздание «Мира Животных», изданное в 4 томах и дополненное главами про недостающие типы беспозвоночных. В оформлении книги были добавлены цветные фото, но рисованные иллюстрации, присутствовавшие в первом издании, были исключены.
Скончался на загородной даче 19 апреля 1993 года на 65-м году жизни. Похоронен на Николо-Архангельском кладбище.